很多的文章都会谈到以下的经典的安全库存公式

各符号含义如下

从这个看似复杂的公式中，算出的数字，会轻易地告诉你，建立的安全库存有多安全，有多少的百分比来表示缺货的可能性，当你选择了多少的服务水平，就可以到达一个安全的数字，然后又夹杂了一堆标准差，西格玛之类的，似乎包含了非常强的科学性和技术性，因此一些初入行者非常容易被折服在这个公式之下，然而绝大多数的文章对于这个公式都是彼此互转，没有足够的说明。

因此，笔者在这里完全解剖这个公式，让小白都能彻底地从头到尾掌握。

公式的适用背景

这个公式必须在正态下的随机分布且独立需求情况而适用的。因此包含了三个概念必须要清楚的。就是：正态分布，独立，随机分布。而这个公式的计算所包含的原理，就是从过往的历史数据中，推算未来发生事情的概率并计算出来。

正态分布

正态分布是属于连续分布的一种。与连续分布相对的是离散分布。

连续分布的数据是通过测量可得的数据，测量结果取决于测量精度的要求，它是连绵不断的分布。而离散分布的数据是通过计数得到的，数据之间有明确的间隔。

举个例子，一个画室之中只有我和张曼玉在。那么我和张曼玉这两个人，两个人的数据就是离散的，因为不可能有1.5个我或者0.75个张曼玉在。1个人和另外一个人，就是1和2之间有着明确的间距。但是我站在张曼玉的不远处，距离会是3.15米，但是再精确一点，是3.1564米，再继续精确，是3.米，一直下去可以会是3.……米，这个数据就是连续的。

正态分布是连续分布的理想模型。它又称为高斯分布。其分布呈钟形曲线，通过参数均值μ（读作缪）来确定曲线的中央位置，通过标准差σ（都作西格玛，没错，就是那个六西格玛的西格玛）来指出分散性。

分布图形如下，标准正态分布就是指均值为0 ，标准差为1的分布。以0为中心，向两边对称分布。

标准正态图

在在某些论调中，有种误导：就是一般来说，非正态分布情况下，数据样本足够大的话（样本大于30），那么其分布就会近似正态。因此，总有人以为抽取30个样本数值就可以用来计算安全库存公式。

事实上，所谓30个样本这种说法是根据中心极限定理而来的。中心极限定理提出了在一定的条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限。大意可以这么理解：如果样本的数量大小n≥30，且属于任何均值为μ，标准差为σ的抽样总体，这个样本均值会近似服从正态分布。

注意，是样本均值近似正态，并非样本个体。也就是如果我们有过去数年的历史数据，假设是5年（按月来说，有60个月的数据），每次抽取30个月计算其平均值，抽n次来计算，这里可以有60的30次方抽法（可重复数据），其均值组合就近似正态，而不是60个月只要有30个月的数据，这30个月就近似正态。

独立需求

独立需求就是A需求的需求时间和需求数据和B需求没有直接关系的。从统计学上来说，就是彼此都是独立变量，它们相互之间对对方的概率没有影响。比如我买了一个雪糕，和张曼玉是否买雪糕并没有什么关系，她可能想吃雪糕而选择购买，也可能因为没有兴趣而不想买。我的需求和张曼玉的需求不存在直接关系。

相反的就是相关需求。必须生产一台汽车，就要有座椅的需求，轮胎的需求。它们是相关的。这个轮胎的需求，是取决于汽车的需求，不可能没有汽车的需求，就产生了汽车轮胎的需求。当然，轮胎绑在船上用以靠岸防撞，这并非轮胎本身目的的用途，不涉及这里。

随机需求

随机性是偶然性的一种形式，具有某一概率的事件集合中的各个事件所表现先出来的不确定性。简单的例子就是硬币具有正反面，抛出去，出现正面和反面的概率是相等，都是50%，集合起来就是100%，正反面就是所有的集合。抛出去可能出现正面或反面的不确定性，出现什么面就是它的随机性。

因此随机需求就有不同因子导致它出现不同概率的其中之一的情况。比如需求100，又或者需求50，都具有不确定性。

公式运用

均值（）

这里应该是算术平均值的计算，就是我们熟知的数据之和除以数据的个数。当然，在统计学上，均值实际上还有几何平均值，平方平均值，调和平均值，加权平均值等。这个安全库存计算公式不涉及。

均值以符号μ来表示。

用公式表示就是，EXCEL可使用函数来帮助计算。

其中

标准差( ，SD)

标准差是表示一组数据的离散程度。一个较大的标准差 ，意味着大部分的数据和平均值之间的差异较大，反之，代表这些数值和平均值之间的差异比较小。

标准差用符号σ（读作西格玛）表示，EXCEL可使用函数Stdev来帮助计算，EXCEL版本不同会有少许差异。

标准差公式

示例计算，一组数字1，2，9，其平均值是4，那么它的标准差计算就如下

服务水平

服务水平，又或者称为订单满足率，是指对顾客需求的满足程度。服务水平转化而成的z值，一个临界值，是标准化的结果。但是这个值本身没有意义的，有意义的是在于标准正态分布模型中代表的概率。

在数据处理中，如果数据样本太多的情况，数据就不好计算。比如一个个体的标准差是10，另外一个是50，如果有一万份数据，或许有一万个标准差数据。所以要引入Z值，Z值就是用来衡量标准差的标准。

假如设立这个Z值的单位是10的话，标准差是5，那么就是5/10=0.5，另外的标准差是10的话，10/10=1，不同的标准差就会带来不同的Z值结果。

因此通过这个确立一个标准，概率50%的Z值是0.000，向下49%来计算就为负值，向上延申就是正值，不同的概率就以不同的Z值来衡量不同的概率数据。

至于服务水平，我们从需求满足来理解。当客户有需求的时候，提供满足需求的程度可视为服务水平。比如当我们设立95%的服务水平的时候，就是当客户需求服从正态分布，根据历史数据来推出，下次的需求我们可以最多出现5%缺货的概率，客户的需求我们应该有95%的库存水平来满足到。

我们可通过正态表查询0.95对应的z值，或者通过Excel函数norm.s.inv（0.95）来计算出z值呢

标准正态分布下的95%在图红线所标位置，也就是我们要知道到达这条线的概率密度是多少，并且剩下5%（红色圈）就是可能缺货的概率。

通过计算或Excel查询，95%（即0.95）服务水平下的z值是1.65（保留两位小数）。

注意：服务水平是多少就取值多少，但是有些文章有卖弄之嫌，把置信区间的取值和服务水平的z取值写成一团，容易造成思维混乱。

笔者稍微简单区分，置信区间可以理解为你要计算的值就落在某个范围，比如以下95%的置信区间，就是要想知道的值落入95%覆盖范围内，但是由于正态分布是双侧对称，因此合计区间外就是5%(1-95%=5%)，在正向是0.975，负向就是-0.975，因为双侧各占了2.5%。取值0.975（97.5%）就是因为其中一侧只占了2.5%。

公式计算

某公司得到如下历史数据，提前期均值是5天，标准差是2天，日均需求是20件，需求标准差是5件，设立95%的服务水平(对应z值为1.65)来计算安全库存。

那么套入公式计算就如下

安全库存公式怎么来？

安全库存公式简化理解就是一个安全系数（即z值）乘以标准差，意味着一个确立的安全方位覆盖了多少个标准差。

标准差是方差的开放，所以安全库存公式本质就是

VAR就是代表方差（）。X表示的是提前期T内，需求量D的和。

我们使用的是概率论的方差，而非统计学上的，它们有些差异，笔者不再这里解说。

方差与期望的关系推导公式如下

上述公示的E就是指期望值的意思。

期望值（ Value）

在概率论和统计学中，期望值是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

笔者直接在这里引用百度百科的例子

例如，美国赌场中经常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的几率都是相等的。赌注一般压在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以将相当于赌注35倍的奖金和原赌注拿回（总共是原赌注的36倍），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。因此，如果赌注是1美元的话，这场赌博的期望值是：

,结果是

。也就是说，平均起来每赌一次就会输掉0.053美元（反之，就每下一1美元赌注，收益的期望值只有0.947美元，所以赌王何鸿燊说过，只有赌场才是永远赢家，因为概率告诉了一直持续下去，赌客是亏的）

变量X的期望写作

有时候也会写作μ，这个也是均值的符号。因此也被记为

用P表示概率的话，那么期望值的公式就是

（注意：小写字母x表示的是每一个可能出现的数值，比如骰子的话，x=1或者x=2直到x=6）

通过最后推出的结论，我们可以得知

再回头安全库存公式，就是求出一个提前期T内的需求量D的和。即是

把D(T)代入X就得

然后我们需要引入条件期望再来研究这个公式。

条件期望

条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。这句话理解起来有点麻烦，借用一个例子就是如果我们要计算某个年级学生的平均分。常用做法就是这个年级的所有学生的成绩全部加总，然后除以这个年级的学生数，就得出其平均分。而这个可以记为

第二个方法就是可以先计算每个班级的平均分（第一次平均），然后在把每个班级的平均分加起来除以班级数（第二次平均）。这便是

这个例子里面，每个班级相当于Y，计算每个班级的平均分相当于固定一个Y=y, y指数值取值，比如1，2，3等，因此先有了

最后再对班级求班级的平均分，也就出现了

以班级数为条件来计算均值，就是条件期望了。。

由于这两个方法通用，因此

对于计算安全库存的条件期望，就是T时间为条件计算D的需求，那么X就是D(T)，Y就是T

那么接下来我们再次引入条件期望和条件方差，即在给定一个确认的T的时候，计算D(T)的期望和方差。

公式1

这里就是在T时间里的期望需求。每天需求是独立的，T是5天，就是5天乘以每天的需求期望，也就是乘以每天的均值。注意：不是均值被叫做期望值。是计算方法相似，在大数定理下平均值依概率收敛于期望（关于这点，需要专业的书籍，内里有详细的解释）。打个比喻，均值和期望是双胞胎，但一出生由不同人家领养（类似但属于不同学术范畴）

公式2

首先，标准差是是方差的开方，因此需求标准差的平方就是代表其方差了。提前期是确定的5天的时候，5天内需求量的方差就是每天需求量方差的5倍，即需求量的方差在每天也是独立的。

将上面公式1和公式2代入

并演化就得出

我们应该还记得这个公式

那么代入，然后再套入的公式，就是

同理，注意套入公式的时候，是X取平方，而非Y取平方，因为下面原公式只有X是平方值。

到这里是否开始看到出口了？开始一条大路通罗马了!

继续前进！

把这个用回到安全库存公式的简化

就是

安全库存公式来了！！